He got the job only through a distant connection to the company's executive.

distant 是形容词，意思是"遥远的、疏远的"，在这里形容关系很疏远。 connection 是名词，来自动词 connect（连接），指"联系、关系"。 distant connection 指"疏远的关系"，形容关系不密切、联系很微弱。