The principal is authorizing the outdoor activity organized by the students.

authorizing 是动词 authorize 的现在分词形式。authorize 由词根 author（作者、创始人）和后缀 -ize（使...化）组成，字面意思是"使具有权威性"，引申为"授权、批准"的意思。在这里表示"正在批准"的动作。