Our school has an active chess-playing club.

chess-playing 是由名词 chess（国际象棋）和动词 play（玩、进行）的现在分词形式 playing 组成的复合形容词，表示"下国际象棋的"。这里用来修饰 club，指"进行国际象棋活动的俱乐部"。 chess-playing club 就是指"国际象棋社团"或"国际象棋俱乐部"。