The host graciously invited us to stay for dinner.

graciously 是形容词 gracious 的副词形式，由 grace（优雅、风度）加后缀 -ious 构成形容词，再加 -ly 变成副词。graciously 表示"亲切地、和蔼地"，形容主人邀请时表现出的礼貌和友善态度。