You remember my name, don't you?

don't 是 do not 的缩写形式，在这里用于反意疑问句，表示“不是吗”，用来征求对方确认。 you 是第二人称代词，指“你”，在反意疑问句中与前面的主语保持一致。 don't you 合起来构成反意疑问句的附加部分，意思是“不是吗？”，用于确认对方是否同意前面的陈述。