The police were authorized to shoot on sight the armed robbers.

shoot 的意思是"射击、开枪"。 on sight 是一个固定短语，sight 指"视线、看见"，on sight 字面意思是"一看到就..."，表示"立即、当场"。 shoot on sight 是一个固定搭配，指"见到就开枪/当场击毙"，通常用于紧急情况下对危险分子采取立即行动。