After failed mediation attempts, they filed for divorce in court.

divorce 是名词，来自拉丁语 divorcium（分开），指"婚姻关系的合法解除"。在法律语境中特指"通过法律程序终止婚姻关系"。 file for divorce 是固定搭配，file 指"正式提交（法律文件）"，整个短语表示"向法院正式提出离婚申请"。