He's apologizing for forgetting your birthday.

apologizing 是动词 apologize 的现在分词形式。apologize 由前缀 apo-（表示"离开"）和词根 log（源自希腊语，表示"说话、言辞"）组成，字面意思是"用言辞摆脱（过错）"，即"道歉"的意思。现在分词形式在这里表示正在进行的道歉动作。