I tried to catch her eye, but she had already turned away.

catch 在这里意思是"捕捉、抓住"，引申为"吸引"的意思。 eye 本义是"眼睛"，这里用单数形式特指"目光、注意力"。 catch sb's eye 是一个固定短语，字面意思是"捕捉某人的目光"，实际表示"引起某人注意"的意思。其中 sb's 表示"某人的"，例句中的 her 只是这一占位符的一种具体实现。