The hospital operates charitably by offering free treatments to the poor.

charitably 是形容词 charitable 的副词形式。charitable 来自名词 charity（慈善），后缀 -able 表示"能够...的"，所以 charitable 意思是"慈善的、仁慈的"。加上 -ly 变成副词，表示"以慈善的方式"。