The family survived on a small income.

survived 是动词 survive 的过去式。survive 由前缀 sur-（表示"超过"）和词根 vive（来自拉丁语 vivere，意为"生活"）组成，原意是"活得比...更久"，引申为"幸存、勉强维持生计"。在句中表示"靠着微薄收入艰难维持生活"的状态。