They played a two-handed board game that required cooperation.

two-handed 是由 two（二）和 handed（手的）组成的复合形容词。handed 来自名词 hand（手），加上 -ed 后缀表示"有...手的"。 two-handed 字面意思是"两只手的"，在这里引申为"需要两个人参与的"，特指需要两人合作完成的游戏或活动。