The success of the surgery was on a knife-edge, depending entirely on the surgeon's precision.

knife-edge 是由 knife（刀）和 edge（边缘）组成的复合名词，字面意思是"刀刃"。 在比喻用法中，knife-edge 表示"极其危险或不确定的状态"，就像站在刀刃上一样岌岌可危。这里形容手术成败处于千钧一发的境地。