The family received a proof-of-life video showing the hostage was still alive.

proof-of-life 是由三个词组成的复合名词。proof 意思是"证明"，of 表示所属关系，life 指"生命"。这个短语字面意思是"生命存在的证明"，特指绑架案中用来证明人质仍然活着的证据，通常是视频或照片等可视材料。