The teacher demonstrated how to solve the math problem by actually doing it.

demonstrated 是动词 demonstrate 的过去式。demonstrate 由前缀 de-（表示"完全地"）和词根 monstr（来自拉丁语，意为"展示"）以及动词后缀 -ate 组成，意思是"通过实际操作来展示或证明"。在这里指老师通过亲自解题来展示解题方法。