他花了整个下午冥思苦想，终于想出了一个解决这个复杂数学问题的方法。

After excogitating the whole afternoon, he finally came up with a solution to the complex math problem.

excogitating 是动词 excogitate 的现在分词形式。excogitate 由前缀 ex-（表示"向外"）和拉丁词根 cogitare（思考）组成，字面意思是"深入思考、仔细推敲"，指经过长时间认真思考后得出结论的过程。