The rumors are secretly undermining the company's reputation.

undermining 是动词 undermine 的现在分词形式。undermine 由前缀 under-（表示"在...下面"）和动词 mine（挖矿、挖掘）组成，字面意思是"从下面挖掘"，引申为"暗中破坏、逐渐削弱"的意思。 undermining 在这里表示"正在暗中破坏"的动作。