The mayoral candidate is stumping across the county to win support.

stumping 是动词 stump 的现在分词形式。stump 原指"树桩"，在美国政治术语中引申为"巡回演讲"，因为早期政治家常站在树桩上发表演说。stumping 在这里指候选人四处奔走、发表竞选演说的活动。