The teacher countenanced his answer with a smile and a nod.

countenanced 是动词 countenance 的过去式。countenance 由词根 count（计算、考虑）和后缀 -enance（表示状态或行为）组成，本义是"面部表情"，引申为"赞同、支持"的意思。这里指老师用微笑和点头的方式表示认可。