He muttered an apology under his breath.

under的意思是"在…下面"，这里表示声音非常小，几乎是在呼吸之下发出的。 breath的意思是"呼吸、气息"，指呼出或吸入的空气。 under your breath是一个固定短语，意思是"低声地、小声地"，形容说话声音非常轻，几乎听不见。