Living abroad, she often felt a deep craving for her hometown.

craving 是动词 crave 的现在分词形式，crave 的意思是"渴望、热切盼望"。craving 在这里作名词使用，表示"强烈的渴望或思念"，通常指对食物、家乡或某种情感的深切向往。