We're wishing you a happy New Year from the bottom of our hearts.

wishing 是动词 wish 的现在分词形式，wish 的意思是"祝愿、希望"。 from the bottom of our hearts 是一个固定短语，bottom 本义是"底部"，heart 是"心脏"，这个短语字面意思是"从我们心底"，引申为"衷心地、真诚地"。 整句表达的是发自内心的真诚祝福。